ข้อคิดเห็นคะ..

Abuse/แจ้งลบ
ABUSE / แจ้งลบ
Your Email :
Why? !
Security Code



ลำดับและอนุกรม




ลำดับและอนุกรม?

โดย น [31 พ.ค. 2550 , 18:02:07 น.] ( IP = 58.9.54.124 : : ) เก็บกระทู้นี้ไว้ใน Bookmarkส่งกระทู้นี้ให้เพื่อนของคุณแจ้งลบกระทู้
[ 1 ] [ 2 ]

ความคิดเห็น 1

ลำดับและอนุกรม

เรื่องลำดับและอนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิต

ลำดับ คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
1. ลำดับจำกัด คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก เช่น
f = { ( 1,2),(2,3),(3,4), (4,5) } หรือจะเขียน 2 , 3 , 4 , 5 แทนลำดับนี้ก็ได้ (เขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์ทุกตัว)
g = { (1,g(1) ) ,(2,g(2) ) ,( 3,g(3) ) ,(4,g(4) ) } หรือจะเขียน g(1),g(2),g(3), แทนลำดับนี้ก็ได้
นั่นคือฟังก์ชัน f = {(x, f(x) / x= 1,2,3,…..,n และ ax = f(x)} คือลำดับ f(1) , f (2) , f(3) ,......,f(n)หรือ
a 1 , a 2 , a3 ,…..,a n และเรียกแต่ละค่าว่า พจน์ โดยเรียกพจน์ an = f(n) ว่าพจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับ
สรุป 1. a1 เรียกว่าพจน์ที่1 , a2 เรียกว่าพจน์ที่2 , a3 เรียกว่าพจน์ที่3 , a4 เรียกว่าพจน์ที่4 , a n เรียกว่าพจน์ที่ n
2. ฟังก์ชัน f = {(x, f(x) / x= 1,2,3,…..,n และ ax = f(x)} คือลำดับ f(1) , f (2) , f(3) ,......,f(n)หรือ
a 1 , a 2 , a3 ,…..,a n เป็นลำดับจำกัด

2. ลำดับอนันต์ คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
นั่นคือฟังก์ชัน f = {(x, f(x) / x= 1,2,3,…..,n ,… และ ax = f(x)} คือลำดับอนันต์ f(1) , f (2) , f(3) ,......,f(n),…หรือ
a 1 , a 2 , a3 ,…..,a n ,…
พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด (an ) คือการแสดงว่าค่าแต่ละพจน์ของลำดับสัมพันธ์กับค่าของจำนวน 1,2,3,…..,n ตามลำดับ
อย่างไร เช่น
1. 2,4,6,8,10, = 2(1), 2(2) , 2(3), 2(4) , 2(5) ดังนั้น an = 2n
2. 3,5,7,9,11, = 2(1)+1, 2(2)+1 , 2(3)+1, 2(4)+1 , 2(5)+1 ดังนั้น an = 2n + 1
3. 2,4,8,16,32, = 21, 22 , 23, 24 , 25 ดังนั้น an = 2n
4. 1,2,5,12,27, = 21-1 , 22 - 2, 23 -3 , 24 -4 , 25 - 5 ดังนั้น an = 2n - n
หมายเหตุ พจน์ทั่วไปของลำดับที่กำหนดพจน์แรกๆมาให้จำนวนหนึ่งโดยไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม คำตอบจะมีได้มากกว่า 1 คำตอบ เช่น
1. 2 , 4 , 6,….. มี a n = 2n
2. 2 , 4 , 6 ,….. มี a n = 2n +(n-1)(n-2)(n-3)
3. 2 , 4 , 6, ….. มี a n = 2n + n(n-1)(n-2)(n-3)

โดย bop [31 พ.ค. 2550 , 18:03:07 น.] ( IP = 58.9.54.124 : : )

ความคิดเห็น 2

เรื่องลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต( Arithmetic Sequence ) คือลำดับที่ผลต่างซึ่งได้จาก พจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า ผลต่างร่วม (Common Difference ) แทนด้วยสัญลักษณ์ d
จากความหมายของลำดับเลขคณิต ค่าของ d = an+1 - an , n = 1,2,3, ….. หรือ an+1 = an + d
นั่นคือ ถ้าพจน์ที่1 คิอ a1
พจน์ที่ 2 คือ a2 = a1+ d
พจน์ที่ 3 คือ a3= a2+ d = ( a1+ d ) + d = a1+ 2d
พจน์ที่ 4 คือ a4= a3+ d = ( a1+ 2d ) + d = a1+ 3d
พจน์ที่ 5 คือ a5= a4+ d = ( a1+ 3d ) + d = a1+ 4d




พจน์ที่ n คือ a n = + d = a1+ ( n – 1 )d

สรุป a n = a1+ ( n – 1 )d คือพจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเลข คณิต
ในรูปของพจน์ที่1 ( a1 ) กับ ผลต่างร่วม (d )

ตัวอย่างที่1 จงเขียนลำดับเลขคณิตที่กำหนดค่า a1 และ d ให้ดัง ต่อไปนี้แบบแจกแจงพจน์ 5 พจน์แรก
1.1 a1 = 8 และ d = -3 ได้ลำดับคือ 8,5,2,-1,-4
1.1 a1 = 8 และ d = 3 ได้ลำดับคือ 8, 11, 14,17 , 20
1.1 a1 = -8 และ d = -3 ได้ลำดับคือ - 8,-11, -14,-17,-20

ตัวอย่างที่2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตต่อนี้ ( a n )
2.1 6,2,-2,-6,-10,….. จากสูตร a n = a1+ ( n – 1 )d ได้ a n = 6+(n-1)(-4) = 10 - 4n
2.2 -10, -6,-2,2,6….. จากสูตร a n = a1+ ( n – 1 )d ได้ a n = -10+(n-1)4 =-14 + 4n

ตัวอย่างที่3 จงหาพจน์ที่ 10 และ พจน์ที่ 12 ของลำดับเลขคณิต 6,2,-2,-6,-10,…..

วิธีทำ จากสูตร a n = a1+ ( n – 1 )d
ได้ a n = 6+(n-1)(-4) = 10 - 4n
ดังนั้ a 10 = 10 - 4(10) = 10 - 40 = - 30
a 12 = 10 - 4 ( 12 ) = 10 - 48 = - 38

เรื่องลำดับเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิต( Geometric Sequence )คือลำดับที่อัตราส่วนระหว่างพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n มีค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า อัตราส่วนร่วม (Common Ratio ) แทนด้วยสัญลักษณ์ r นั่นคือ
r = หรือ r เมื่อ n I+
ถ้าพจน์ที่1 คือ a1 และ r คืออัตราส่วนร่วม
พจน์ที่2 คือ a2 = a1 r
พจน์ที่3 คือ a3 = a2 r = ( a1 r ) r = a1 r2
พจน์ที่4 คือ a4 = a3 r = ( a1 r2 ) r = a1 r3
พจน์ที่5 คือ a5 = a4 r = ( a1 r3) r = a1 r4





ดังนั้น พจน์ที่ n คือ a n = r = ( a1 rn-1) r = a1 rn-1

สรุป a n = a1 rn-1 คือพจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต
ในรูปของพจน์ที่1 ( a1 )กับ อัตราส่วนร่วม ( r )

ตัวอย่างที่ 1. 2 , 4 , 8 , 16 , ….. เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะมีอัตราส่วนร่วมคือ 2 ( คงที่ )
27 , 9 , 3 , 1, … เป็นลำดับเรขาคณิตเพราะมี่อัตราส่วนร่วมคือ .( คงที่ )
, , , ,…. เป็นลำดับเรขาคณิตเพราะมี่อัตราส่วนร่วมคือ ( คงที่ )
2 , 4 , -8 , 16 , ….. ไม่เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะมีอัตราส่วนร่วมไม่คงที่
2 , -4 , -8 , 16 , ….. ไม่เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะมีอัตราส่วนร่วมไม่คงที่

ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ที่ 5 , 10 และ พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต 2 , 4 , 8 , 16 , …..
วิธีทำ r = 2 และจาก a n = a1 rn-1
ดังนั้น พจน์ที่5 คือ a5 = a1 r5-1 = 2( 2 )4 = 32

พจน์ที่10 คือ a11 = a1 r10-1 = 2( 2 )9 = 1,024

พจน์ที่n คือ an = a1 rn-1 2( 2 )n-1 = 2n

โดย .... [31 พ.ค. 2550 , 18:03:55 น.] ( IP = 58.9.54.124 : : )

ความคิดเห็น 3

เรื่องอนุกรมและสัญลักษณ์การบวก
1. อนุกรม (Series ) คือ การบวกพจน์ทุกพจน์เรียงตามลำดับของลำดับ และนิยมใช้สัญลักษณ์แทนการบวกด้วย อักษรกรีก คือ อ่านว่า ซิกมา ( Sigma )
เรียกอนุกรมที่ได้จากลำดับจำกัดว่า อนุกรมจำกัด และเรียกอนุกรมที่ได้จากลำดับอนันต์ว่า อนุกรมอนันต์
นั่นคือ a 1 , a 2 , a3 ,…..,a n เป็นลำดับจำกัด จะได้อนุกรมจำกัดคือ a 1 + a 2 + a3 +…..+ a n =
อ่านว่า การบวก ai เมื่อ i = 1 ถึง n ตามลำดับ ( i = 1,2,3,4,……,n )
a 1 , a 2 , a3 ,…..,a n ,….. เป็นลำดับอนันต์ จะได้อนุกรมอนันต์คือ a 1 + a 2 + a3 +…..+a n +….. =
อ่านว่า การบวก ai เมื่อ i มีค่าตั้งแต่ 1 ขึ้นไปตามลำดับ ( i = 1,2,3,……..)
Note จะแทนอักษรภาษาอังกฤษตัวอื่นแทน i ก็ได้ เช่น ,
2. จากอนุกรม a 1 + a 2 + a3 +…..+ a n = และ a 1 + a 2 + a3 +…..+a n +….. =
เรียก a 1 ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม เรียก a 2 ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม
เรียก a3 ว่าพจน์ที่3 ของอนุกรม เรียก a n ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม
3. อนุกรมจำกัดมีผลบวกที่แทนด้วยจำนวนจริงจำนวนหนึ่งที่หาค่าได้แน่นอน ส่วนอนุกรมอนันต์เนื่องจากไม่สามารถหาค่าของ พจน์สุดท้ายได้ จึงหาผลบวกไม่ได้ค่าที่แน่นอน เช่น 3.1 [ 2i + 1 ] = [2(1) +1] +[2(2)+1]+[2(3)+1]+[2(4)+1]
= 3+5+7+9 = 24
3.2 k2 = 12+22+32+42+52 = 1+4+9+16+25= 55
3.3 [ 2i +1] = [2(1) +1]+[2(2)+1]+[2(3)+1]+[2(4)+1] +….
= 3+5+7+9+…..
3.4 k2 = 12+22+32+42+52 +…….. = 1+4+9+16+25+…….
เรื่องอนุกรมเลขคณิต
อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากผลบวกของลำดับเลขคณิต ทีมีผลต่างร่วม = d
ใช้สัญลักษณ์ sn แทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต นั่นคือ sn = a1 + a2+ a3 + …..+ an

การสูตรสำเร็จของ sn อนุกรมเลขคณิต
จาก sn = a1 + a2+ a3 + …..+ an จะได้สองสมการที่เป็นจริงดังต่อไปนี้ในรูปของ a1 , n , d
sn = a1 + (a1 +d ) + ( a1 + 2d ) +……….+ [a1 +(n-1)d ] ………(1)
sn = [a1 +(n-1)d ] + [a1 +(n-2)d ] +[a1 +(n-3)d ] +……….+ a1 ………(2)

โดย .... [31 พ.ค. 2550 , 18:04:46 น.] ( IP = 58.9.54.124 : : )

ความคิดเห็น 4

เรื่องอนุกรมเลขคณิต
อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากผลบวกของลำดับเลขคณิต ทีมีผลต่างร่วม = d
ใช้สัญลักษณ์ sn แทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต นั่นคือ sn = a1 + a2+ a3 + …..+ an

การสูตรสำเร็จของ sn อนุกรมเลขคณิต
จาก sn = a1 + a2+ a3 + …..+ an จะได้สองสมการที่เป็นจริงดังต่อไปนี้ในรูปของ a1 , n , d
sn = a1 + (a1 +d ) + ( a1 + 2d ) +……….+ [a1 +(n-1)d ] ………(1)
sn = [a1 +(n-1)d ] + [a1 +(n-2)d ] +[a1 +(n-3)d ] +……….+ a1 ………(2)

(1)+(2) 2 sn = [2a1 +(n-1)d ] + [2a1 +(n-1)d ] +……….+ [2a1 +(n-1)d ] จำนวน n พจน์

= n [2a1 +(n-1)d ]

ดังนั้น ........สูตรรูปแบบที่1

แต่เนื่องจาก 2 a1 = a1 + a1 และ an = a1 + (n-1)d นั่นคือ 2 a1 + (n-1)d = a1 + a1 + (n-1)d
= a1 + an
ดังนั้น ........สูตรรูปแบบที่2

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 2 + 7 + 12 + 17 + ........
วิธีทำ จากสูตร
N = 20 , a1 = 2 , d = 5
ดังนั้น S20= ……………………………. = 10(99) = 990 Ans.

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ที่มีพจน์ทั่วไปคือ an = 2n + 1
วิธีทำ จากสูตร
S20 = 10[ 3 + 41] = 440 Ans.

เรื่องอนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากผลบวกของลำดับเรขาคณิต ทีมีอัตราส่วนร่วม = r
ใช้สัญลักษณ์ sn แทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต นั่นคือ sn = a1+ a2+ a3+…..+ an
การสูตรสำเร็จของ sn อนุกรมเรขาคณิต

จาก sn = a1 + a2+ a3 + …..+ an จะได้สองสมการที่เป็นจริงดังต่อไปนี้ในรูปของ a1 , n , r ดังนี้
sn = a1 + a1 r + a1 r2 + ……………+ a1 rn-1 ………(1)
rsn = a1r + a1 r2 + a1 r3 +..……………+ a1 rn ………(2)

(1)-(2) sn - rsn = a1 - a1 rn
( 1 – r ) sn = ( 1 – rn ) a1 = a1 ( 1 – rn )
ดังนั้นจะได้ว่า โดยที่ ค่าของ r 1

Note ถ้าค่าอัตราส่วนร่วม r = 1 จะได้ค่าของ Sn = na1


ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 3 + 6 + 12 + ........
วิธีทำ จากสูตร ; a1 = 3 , r = 2 , n = 10
S10 = 3,069 Ans.
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 4 + 8 + 16 + ........
วิธีทำ จากสูตร ; a1 = 4 , r = 2 , n = 8
S8 = 1,020 Ans.

โดย .... [31 พ.ค. 2550 , 18:05:48 น.] ( IP = 58.9.54.124 : : )

ความคิดเห็น 5



ลำดับและอนุกรม(Sequences and Series)
1. ลำดับ(Sequences) หมายถึง ตัวเลขชุดหนึ่งที่เขียนเรียงกันภายใต้กฎเกณฑ์ที่กำหนดให้
1.1 ลักษณะของลำดับมีอยู่ 2 ชนิด คือ ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์
1.2 ชนิดของลำดับที่นิยมใช้กันอยู่ 2 ชนิดคือ
(1) ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับซึ่งผลต่างระหว่างสองพจน์ใดที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่เสมอ ค่าคงที่เรียกว่า ผลต่างร่วม (d) เช่น 3, 8, 13,18,… โดยมีผลต่างร่วม d = 8-3 = 5 ต้องตรวจสอบในแต่ละค่าเท่ากันก่อนด้วย จึงจะแน่ใจว่าเป็นลำดับเลขคณิต
(2) ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับซึ่งอัตราส่วนของสองพจน์ที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่เสมอเรียกค่าคงที่ว่า อัตราส่วนร่วม เช่น 2, 4, 8, 16,… โดยมีอัตราส่วนร่วม r = 4/2 = 2 เท่ากันทุกค่า
2. อนุกรม(Series) หมายถึง ผลบวกของพจน์ต่าง ๆ ทุกพจน์เรียงตามลำดับของลำดับ สรุปสูตรในตารางข้างล่าง

ชนิด สูตรการหาลำดับ : an สูตรอนุกรม : Sn
เลขคณิต an = a1 + (n-1)d 1. Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d
2. Sn = (n/2)(a1 + an)
เรขาคณิต
an = a1rn-1 1. Sn = a1(rn-1) เมื่อ r > 1
(r-1)
2. Sn = a1(1- rn) เมื่อ r < 1
(1 - r)
3. Sn = a1 เมื่อ n , r < 1
(1-r)

เมื่อ an คือ พจน์ที่ n ของลำดับ a1 คือ พจน์แรกของลำดับ
d คือ ผลต่างร่วม r คือ อัตราส่วนร่วม
Sn คือ อนุกรมที่ n หรือผลบวก n พจน์ของลำดับ
ตัวอย่าง จงหาเทอมที่ 10 ของลำดับ 3, 8, 13,…
วิธีทำ ต้องทดสอบว่าเป็นลำดับอะไร
สังเกตว่า 8 - 3 = 5 , 13 - 8 = 5
 เป็นลำดับเลขคณิต ที่มี d = 5
an = a1 + (n-1)d
3 + (10 - 1)5 = 48
 เทอมที่ 10 คือ 48

โดย bop [31 พ.ค. 2550 , 18:06:39 น.] ( IP = 58.9.54.124 : : )

ความคิดเห็น 6

ช่วนแสดงวิธีการถอดรูดด้วน
ขอบคุณ

โดย สราวุธ - - ขอวิธีการถอดรูดแบบคำนวณ [16 ก.ค. 2550 , 08:15:46 น.] ( IP = 124.121.58.151 : : )

ความคิดเห็น 7

อยากได้สัญลักษณ์ในคณิตค่ะจะช่วยกันได้ไหมเน้อ ช่วยหน่อยค่อย

โดย katchacha - [1 ส.ค. 2550 , 15:40:48 น.] ( IP = 203.172.224.78 : : 192.168.2.84 )

ความคิดเห็น 8

<a href="http://www.education9.net/joomla/index.php?option=com_fireboard&Itemid=40">http://www.education9.net/joomla/index.php?option=com_fireboard&Itemid=40 </a>

โดย comcom [15 ส.ค. 2550 , 21:11:22 น.] ( IP = 124.157.163.108 : : )

ความคิดเห็น 9

ขอบคุณมากนะค่ะ

โดย iuj [4 ก.ย. 2551 , 21:02:49 น.] ( IP = 58.9.25.190 : : )

ความคิดเห็น 10

ขอบคุณมากๆๆ

โดย KITTY PUNK 01 [28 ก.ค. 2553 , 19:32:42 น.] ( IP = 117.47.250.174 : : )
[ 1 ] [ 2 ]

ขอเชิญแสดงความคิดเห็น
จาก : *
Code :
กรุณากรอก Code ตัวเลขด้านบน *
อีเมล์ : หากไม่ต้องการให้เว้นว่าง
Your Photo : ไม่เกิน 150KB
ยินดีให้รูปประกอบนี้ ไปให้บริการ ส่งรูปภาพเข้ามือถือ ยินดี ไม่ยินดี
บริการใหม่!! รับฝาก File ฟรี!
รายละเอียด :
Icon Toy
Special command
Register User
Login User

* *
กรุณาคลิ๊ก Post message เพียงครั้งเดียว.... 

คำเตือน
  • การแอบอ้างใช้ชื่อบุคคลซึ่งอาจทำให้บุคคลนั้นเกิดความเสียหาย อาจถูกดำเนินคดีทางกฏหมายได้
  • การโพสรูปภาพที่ไม่เหมาะสม หรือ ไม่ได้รับอนุญาตจากเจ้าของภาพ อาจถูกดำเนินคดีทางกฏหมายได้
  • หากพบเห็นรูปภาพหรือกระทู้ที่ไม่เหมาะสมสามารถเมล์เข้ามาได้ที่ freewebboard@thaimisc.com โดยระบุ subject "กระทู้ไม่เหมาะสม" พร้อมทั้งระบุ ADDRESS ของเว็บบอร์ด